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4.如图,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°,求证:BC=CD.

分析 过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E,作CF⊥AD于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF,根据同角的补角相等求出∠D=∠CBE,然后利用“角角边”证明△BCE和△DCF全等,根据全等三角形对应边相等证明即可.

解答 证明:如图,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E,作CF⊥AD于F,
∵AC平分∠BAD,
∴CE=CF,
∵∠ABC+∠CBE=180°,∠ABC+∠D=180°,
∴∠D=∠CBE,
在△BCE和△DCF中,$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CBE}\\{∠E=∠CFD=90°}\\{CE=CF}\end{array}\right.$,
∴△BCE≌△DCF(AAS),
∴BC=CD.

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键.

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