Question

受不法投机商炒作的影响，去年黑豆价格出现了大幅度波动．1至3月份，黑豆价格大幅度上涨，其价格y₁ （万元/吨）与月份x （1≤x≤3，且x取整数）之间的关系如下表：

月份x	1	2	3
价格y1 （万元/吨）	2.6	2.8	3

而从4月份起，黑豆价格大幅度走低，其价格y₂（万元/吨）与月份x（4≤x≤6，且x取整数）之间的函数关系如图所示．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出黑豆价格y₁ （万元/吨）与月份x之间所满足的函数关系式；观察如图，直接写出黑豆价格y₂ （万元/吨）与月份x之间所满足的一次函数关系式；
（2）某食品加工厂每月均在上旬进货，去年1至3月份的黑豆进货量p₁ （吨）与月份x之间所满足的函数关系式为p₁=-10x+180 （1≤x≤3，且x取整数）；4至6月份黑豆进货量p₂（吨）与月份x之间所满足的函数关系式为p₂=30x-30 （4≤x≤6，且x取整数）．求在前6个月中该加工厂的黑豆进货金额最大的月份和该月的进货金额；
（3）去年7月份黑豆价格在6月的基础上下降了a%，进货量在6月份的基础上增加了2a%．使得7月份进货金额为363万元，请你计算出a的最大整数值．
（参考数据：，，，）

Answer 1

【答案】分析：（1）把表格（1）中任意两点的坐标代入直线解析式可得y₁的解析式．把（4，2.6），（5，2.4）代入直线解析式可得y₂的解析式；
（2）分情况探讨得：1≤x≤3时，黑豆进货金额=黑豆价格y₁×进货量p₁；4≤x≤6时，黑豆进货金额=黑豆价格y₂×进货量p₂；并求得相应的最大进货金额最大的月份和该月的进货金额即可；
（3）根据7月份进货金额为363万元列出关于a的方程，解方程即可．
解答：解：（1）利用表格可知y₁与x是一次函数关系，设y₁=kx+b，
由题意，得，
解得，
则y₁=0.2x+2.4（1≤x≤3，且x取整数）；
利用图象得可知y₂与x是一次函数关系，设y₂=ax+c，
由题意，得，
解得，
则y₂=-0.2x+3.4（4≤x≤6，且x取整数）；

（2）在前3个月中，设每月黑豆的进货金额为W₁万元，
则W₁=y₁•p₁=（0.2x+2.4）（-10x+180）=-2x²+12x+432=-2（x-3）²+450（1≤x≤3，且x取整数），
∴当x=3时，W_1最大=450万元；
在4到6月份中，设每月黑豆的进货金额为W₂万元，
则W₂=y₂•p₂=（-0.2x+3.4）（30x-30）=-6x²+108x-102=-6（x-9）²+384（4≤x≤6，且x取整数），
∵9＞6，而当4≤x≤6时，W₂随x的增大而增大，
∴当x=6时，w_2最大=330万元；
∵450＞330，
∴在前6个月中，第3月份食品加工厂的黑豆进货金额最大，最大金额为450万元；

（3）6月份的黑豆价格为：y₂=-0.2×6+3.4=2.2 （万元/吨），
进货量为：p₂=30×6-30=150（吨），
由题意，得  2.2（1-a%）×150（1+2a%）=363，
整理，得a²-50a+500=0，
解得a=25±5．
∵≈2.2，
∴a≈14或a≈36．
∵所求为最大整数值，
∴a取36．
答：a的最大整数值为36．
点评：本题综合考查了一次函数和二次函数的应用；根据二次函数的最值及相应的取值范围得到一定范围内的最大值是解决本题的易错点；利用估算求得相应的整数解是解决本题的难点．