如图1.在正方形ABCD的外侧.作两个等边三角形ADE和DCF.连接AF.BE．(1)请判断:AF与BE的数量关系是相等.位置关系是互相垂直,(2)如图2.若将条件“两个等边三角形ADE和DCF 变为“两个等腰三角形ADE和DCF.且EA=ED=FD=FC .第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予说明,(3)若三角形ADE和DCF为一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE．
（1）请判断：AF与BE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直；
（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；
（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．

分析（1）易证△ADE≌△DCF，即可证明AF与BE的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AF⊥BE．
（2）证明△ADE≌△DCF，然后证明△ABE≌△ADF即可证得BE=AF，然后根据三角形内角和定理证明∠AMB=90°，从而求证；
（3）与（2）的解法完全相同．

解答解：（1）AF与BE的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AF⊥BE．
答案是：相等，互相垂直；
（2）结论仍然成立．
理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，
∴在△ADE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{AD=CD}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF，
∴∠DAE=∠CDF，
又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∴在△ABE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DA}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，
又∵∠DAF+∠BAM=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∴在△ABM中，∠AMB=180°-（∠ABM+∠BAM）=90°，
∴BE⊥AF；
（3）第（1）问中的结论都能成立．
理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，
∴在△ADE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{AD=CD}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF，
∴∠DAE=∠CDF，
又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∴在△ABE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DA}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，
又∵∠DAF+∠BAM=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∴在△ABM中，∠AMB=180°-（∠ABM+∠BAM）=90°，
∴BE⊥AF．

点评本题考查了正方形和等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明∠BAE=∠ADF是解题的关键．

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