Question

已知抛物线y=2x²-4mx+m²
（1）求证：当m为非零实数时，抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的交点为A、B，顶点为C，且S_△ABC=4

2

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）求得二次函数的判别式＞0时，m的取值即解得．
（2）设点A（x₁，0），B（x₂，0）利用根与系数的关系求得AB的距离，由顶点公式求得点C的纵坐标，利用三角形的面积公式，即能求得m值．

解答：（1）证明：已知抛物线y=2x²-4mx+m²，
∴其根的判别式△=16m²-8m²=8m²，
∴当m≠0时，8m²总＞0，
∴抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

①，
由根与系数的关系得：
x₁+x₂=2m，x₁x₂=

m2

2

②，
顶点C的纵坐标=

4×2m2-16m2

4×2

=-m²，
S_△ABC=

1

2

AB(-m2)=4

2

③，
由①②③解得：
m=2．

点评：本题考查了二次函数数的综合运用，涉及到了二次函数的判别式，根与系数的关系，是一道综合性很好的目题．