Question

如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.
【小题1】求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；
【小题2】连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
【小题3】如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)²+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，
若∠OAM=90°，求a、h、m的值.

（1）                            （2）

Answer 1

【小题1】E(m+10,3),F（m+6,0）
【小题1】m=6或4或
【小题1】m=12

解析【小题1】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.
由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.
在Rt△ABF中，BF=.
∴FC=4.
设DE=x,在Rt△ECF中，4²+（8-x）²=x²，解得x=5.
∴CE=8-x=3.
∵B（m，0）,∴E(m+10,3),F（m+6,0）.

【小题1】分三种情形讨论：
若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.
若OF=AF，则m+6=10，解得m=4.  
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO²=OB²+AB²=m²+64，
∴（m+6）²= m²+64，解得m=.   
综合得m=6或4或
【小题1】由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).
依题意，得， 解得  ………………………（8分）
∴M（m+6，﹣1）.
设对称轴交AD于G.
∴G（m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9.
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG.
又∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG.  ∴，即.∴m="12."