Question

（2010•台湾）如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为何（ ）

A．40
B．50
C．60
D．80

Answer 1

【答案】分析：过C作CL⊥AD于L，连接HE，设正八边形的边长为a，AD=h；先根据△ADE的面积求出矩形ADEH的面积，再根据正多边形内角和定理求出各内角的度数，判断出△CDL的形状，求出边长；进一步可求出梯形ABCD的面积，根据S_{正八边形ABCDEFGH}=S_梯形ABCD+S_梯形ABCD+S_矩形ADEH即可解答．
解答：解：过C作CL⊥AD于L，连接HE，则四边形ADEH是矩形；
设正八边形的边长为a，AD=h，
则S_△ADE=DE•AD=ah=10，ah=20，即S_矩形ADEH=20，
∵正八边形的内角度数为=135°，
∴∠LCD=135°-90°=45°，
∴△CDL是等腰直角三角形，设CL=x，
∴CD²=CL²+LD²，即a²=x²+x²，x=a，
∴AD=h=a+a，
∵ah=20，
∴（1+）a²=20，a²=，
∴S_梯形ABCD=====10，
同理，S_梯形EFGH=10，
∴S_{正八边形ABCDEFGH}=S_梯形ABCD+S_梯形ABCD+S_矩形ADEH=10+10+20=40．
故选A．

另解：取AE中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．易得△IDE的面积为5，则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40．
点评：本题比较复杂，涉及到正多边形的性质、直角三角形的性质及梯形的面积公式，解答此题的关键是作出辅助线构造出直角三角形解答．