Question

【题目】
（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE= ∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′， 求证：DE′=DE．

（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE= ∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）． 求证：DE2=AD2+EC2 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠DBE= ∠ABC，

∴∠ABD+∠CBE=∠DBE= ∠ABC，

∵△ABE′由△CBE旋转而成，

∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，

∴∠DBE′=∠DBE，

在△DBE与△DBE′中，

∵ ，

∴△DBE≌△DBE′，

∴DE′=DE

（2）证明：如图所示：把△CBE逆时针旋转90°，连接DE′，

∵BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠BAC=∠BCE=45°，

∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合，

∴AE′=EC，

∴∠E′AB=∠BCE=45°，

∴∠DAE′=90°，

在Rt△ADE′中，DE′2=AE′2+AD2，

∵AE′=EC，

∴DE′2=EC2+AD2，

同（1）可得DE=DE′，

∴DE′2=AD2+EC2，

∴DE2=AD2+EC2．

【解析】（1）先根据∠DBE= ∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE= ∠ABC，再由图形旋转的性质可知BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，故可得出∠DBE′=∠DBE，由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBE′，故可得出结论；（2）把△CBE逆时针旋转90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，∠E′AB=∠BCE=45°，所以∠DAE′=90°，由（1）证DE=DE′，再根据勾股定理即可得出结论．
【考点精析】利用勾股定理的概念和旋转的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．