Question

20．如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：$\sqrt{3}$（即AB：BC=1：$\sqrt{3}$），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）

Answer 1

分析 由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△CDE中，CE=$\frac{DE}{tan∠DCE}$=$\frac{DE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，在Rt△ABC中，得到$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF=BC+CE即可求出x的长．

解答 解：∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，
∴四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=2
设DE=x，在Rt△CDE中，CE=$\frac{DE}{tan∠DCE}$=$\frac{DE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△ABC中，
∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，AB=2，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-2，
∴AF=$\frac{DF}{tan∠DAF}$=$\frac{x-2}{tan30°}$=$\sqrt{3}$（x-2），
∵AF=BE=BC+CE．
∴$\sqrt{3}$（x-2）=2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
解得x=6．
答：树DE的高度为6米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用--仰角、坡度问题、矩形的判定与性质、三角函数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．