Question

【题目】已知点A（﹣1，2）、B（3，6）在抛物线y=ax2+bx上

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；

(3)如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x；(2)证明见解析；(3)当运动时间为或秒时，QM=2PM．

【解析】

（1）（1）A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx中确定解析式；

（2）把A点坐标代入所设的AF的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得G点坐标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行；

（3）具体见详解.

．解：（1）将点A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，

，解得： ，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．

（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，

将点A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，

∴k=m﹣2，

∴直线AF的解析式为y=（m﹣2）x+m．

联立直线AF和抛物线解析式成方程组，

，解得： 或 ，

∴点G的坐标为（m，m2﹣m）．

∵GH⊥x轴，

∴点H的坐标为（m，0）．

∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1），

∴点E的坐标为（1，0）．

过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．

∵点A（﹣1，2），

∴A′（﹣1，0），

∴AE=2，AA′=2．

∴ =1， = =1，

∴= ，

∵∠AA′E=∠FOH，

∴△AA′E∽△FOH，

∴∠AEA′=∠FHO，

∴FH∥AE．

（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，

将A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得 ，解得： ，

∴直线AB的解析式为y=x+3，

当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣3，t），点Q的坐标为（t，0）．

当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示，

∵QM=2PM，

∴ =，

∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，

∴点M的坐标为（t﹣2， t）．

又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，

∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），

解得：t=；

当点M在线段QP的延长线上时，

同理可得出点M的坐标为（t﹣6，2t），

∵点M在抛物线y=x2﹣x上，

∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），

解得：t=．

综上所述：当运动时间秒 或 时，QM=2PM．