Question

14．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，sin∠ACB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，BE⊥AC，将△ABE绕A逆时针旋转使AE落在AD上，E的对应点为M，B的对应点为N．设△AMN向右平移的距离是x，△AMN与△ACD重合的面积为y，y关于x的函数图象如图所示．（其中0＜x≤a，a＜x≤b，b＜x≤c，函数图象不同）

（1）△AMN的面积是4；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）y的值能否为3，若能，求出x的值．

Answer 1

分析 （1）先根据△AMK的面积求出MK=1，AM=2，再用面积公式即可得出结论；
（2）先利用面积变化图及平移的特点，求出a，b，c，再分三种情况利用面积的和即可求出函数关系式；
（3）代入（2）中的函数关系式中，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，
由图知，S_△AMK=1，
在矩形ABCD中，∠ACB=∠CAD，
∵sin∠ACB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠CAD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△AMK中，sin∠CAD=$\frac{MK}{AK}$，
设MK=$\sqrt{5}$m，
∴AK=5m，
根据勾股定理得，AM=$\sqrt{A{K}^{2}-M{K}^{2}}$=2$\sqrt{5}$m，
∴S_△AMK=$\frac{1}{2}$AM•MK=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$m×$\sqrt{5}$m=1，
∴m=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$（舍）或m=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴MK=1，AM=2，
由折叠知，AE=AM=2，
在Rt△ABE中，sin∠BAE=$\frac{AE}{AB}$=sin∠ACB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
∴AC=10，BC=4$\sqrt{5}$，
Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=4，
由折叠知，MN=BE=4，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•MN=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
故答案为4；

（2）如图2，
当点N在对角线AC上时，
由题意知，△AMN∽△ADC，
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{MN}{CD}$，
∴$\frac{AM}{4\sqrt{5}}=\frac{4}{2\sqrt{5}}$，
∴AM=8，
∴此时x=a=AM-A'M=8-2=6，
当点N在CD边上时，此时a=x=4$\sqrt{5}$-2，
当点A'在点D时，此时c=x=4$\sqrt{5}$，
当0≤x≤6时，如图3，

在Rt△ACD中，tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{MK}{A'M}$=$\frac{1}{2}$，
∴A'M=2MK，
∴过点E作EF⊥AD于F，
由运动知，AA'=x，AM=x+2，
∴MK=$\frac{1}{2}$（x+2），
同理：A'F=$\frac{1}{3}$x，EF=$\frac{2}{3}$x，
∴y=S_△AMK-S_△AA'E=$\frac{1}{2}$AM•MK-$\frac{1}{2}$AA'•EF=$\frac{1}{2}$（x+2）•$\frac{1}{2}$（x+2）-$\frac{1}{2}$x•$\frac{2}{3}$x=-$\frac{1}{12}$x²+x+1
当6＜x≤4$\sqrt{5}$-2时，y=S_△AMN=4，
当4$\sqrt{5}$-2＜x≤4$\sqrt{5}$时，如图4，

由运动知，AA'=x，
∴A'D=AD-AA'=4$\sqrt{5}$-x，
∴DK=2A'D=2（4$\sqrt{5}$-x），
∴y=$\frac{1}{2}$A'D•DK=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{5}$-x）•2（4$\sqrt{5}$-x）=（4$\sqrt{5}$-x）²，

（3）将y=3代入y=-$\frac{1}{12}$x²+x+1中，3=-$\frac{1}{12}$x²+x+1，
∴x=6+2$\sqrt{3}$（舍）或x=6-2$\sqrt{3}$，
将y=3代入y=（4$\sqrt{5}$-x）²中得，3=（4$\sqrt{5}$-x）²，
∴x=4$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$（舍）或x=4$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，旋转的性质，平移的性质，三角形的面积公式，锐角三角函数，解本题的关键是从图象中得到的信息求出矩形的两边，是一道难度不大，计算量比较大的题目．