如图1.两个全等的等边三角形如图放置.边长为4.AC与DE交于点G.点D是AB的中点.BC与DF相交于点K.连接GK．(1)写出两对相似三角形,(2)求证:∠GKD=∠BKD,(3)若△DKG的面积为S.KG=x.写出S与x的关系.并写出x的取值范围,(4)若将条件中的两个全等的等边三角形改为两个全等的等腰三角形.如图2.其余条件不变.直接判断中的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

19．如图1，两个全等的等边三角形如图放置，边长为4，AC与DE交于点G，点D是AB的中点，BC与DF相交于点K，连接GK．

（1）写出两对相似三角形（不含全等）；
（2）求证：∠GKD=∠BKD；
（3）若△DKG的面积为S，KG=x，写出S与x的关系，并写出x的取值范围；
（4）若将条件中的两个全等的等边三角形改为两个全等的等腰三角形（DF=EF=AC=BC），如图2，其余条件不变，直接判断（1）（2）中的结论是否依然成立．

分析（1）由等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠EDF=60°，再由三角形的外角性质得出∠AGD=∠BDK，证出△DAG∽△KBD，得出对应边成比例$\frac{AD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，证出AD=BD=2，得出$\frac{BD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，证出△KDG∽△KDB即可；
（2）由等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠EDF=60°，再由三角形的外角性质得出∠AGD=∠BDK，证出△DAG∽△KBD，得出对应边成比例$\frac{AD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，证出AD=BD=2，得出$\frac{BD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，证出△KDG∽△KDB，即可得出结论；
（3）由等腰三角形的性质得出∠A=∠B=∠EDF，再由三角形的外角性质得出∠AGD=∠BDK，证出△DAG∽△KBD，得出对应边成比例$\frac{AD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，证出AD=BD=2，得出$\frac{BD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，证出△KDG∽△KDB；证出△DAG∽△KDG，得出DG•DK=2x，△DKG的面积S=$\frac{1}{2}$DG•DK•sin∠EDF，即可得出结果；当KG∥AB时，KG最小=$\frac{1}{2}$AB=2；当K与C重合时，KG最大=3；即可得出x的取值范围；
（4）解法同（1）（2）．

解答（1）解：△DAG∽△KBD，△KDG∽△KDB；理由如下：
：∵△ABC和△DEF是两个全等的等边三角形，
∴∠A=∠B=∠EDF=60°，
∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，
∴∠AGD=∠BDK，
∴△DAG∽△KBD，
∴$\frac{AD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD=2，
∴$\frac{BD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，
∴△KDG∽△KDB；
（2）证明：∵△ABC和△DEF是两个全等的等边三角形，
∴∠A=∠B=∠EDF=60°，
∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，
∴∠AGD=∠BDK，
∴△DAG∽△KBD，
∴$\frac{AD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD=2，
∴$\frac{BD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，
∴△KDG∽△KDB，
∴∠GKD=∠BKD；
（3）解：由（2）得：△DAG∽△KBD，△KDG∽△KDB，
∴△DAG∽△KDG，
∴$\frac{DG}{KG}=\frac{AD}{DK}$，即$\frac{DG}{x}=\frac{2}{DK}$，
∴DG•DK=2x，
∴△DKG的面积S=$\frac{1}{2}$DG•DK•sin∠EDF=$\frac{1}{2}$•2x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
当KG∥AB时，KG最小=$\frac{1}{2}$AB=2；当K与C重合时，KG最大=3；
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x（2≤x≤3）；
（4）解：（1）（2）中的结论依然成立；理由如下：
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰三角形，DF=EF=AC=BC，
∴∠A=∠B=∠EDF，
∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，
∴∠AGD=∠BDK，
∴△DAG∽△KBD，
∴$\frac{AD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD=2，
∴$\frac{BD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，
∴△KDG∽△KDB，
∴∠GKD=∠BKD．

点评本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．

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例：分解因式：x²-2xy-8y²．
解：如图1，其中1=1×1，-8=（-4）×2，而-2=1×2+1×（-4）．
∴x²-2xy-8y²=（x-4y）（x+2y）
而对于形如ax²+bxy+cy²+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；
例：分解因式：x²+2xy-3y²+3x+y+2
解：如图3，其中1=1×1，-3=（-1）×3，2=1×2；
而2=1×3+1×（-1），1=（-1）×2+3×1，3=1×2+1×1；
∴x²+2xy-3y²+3x+y+2=（x-y+1）（x+3y+2）
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：
①6x²-17xy+12y²=（3x-4y）（2x-3y）
②2x²-xy-6y²+2x+17y-12=（x-2y+3）（2x+3y-4）
③x²-xy-6y²+2x-6y=（x-3y）（x+2y+2）
（2）若关于x，y的二元二次式x²+7xy-18y²-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．

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