Question

已知，如图：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=10，D为△ABC外一点，连接AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E．
（1）若△ABD是等边三角形，求DE的长；
（2）若BD=AB，且tan∠HDB=，求DE的长．

Answer 1

解：（1）∵△ABD是等边三角形，AB=10，
∴∠ADB=60°，AD=AB=10，
∵DH⊥AB，
∴AH=AB=5，
∴DH=，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，即∠AEH=45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴EH=AH=5，
∴DE=DH-EH=；

（2）∵DH⊥AB，且tan∠HDB=，
∴可设BH=3k，则DH=4k，
∴根据勾股定理得：DB=5k，
∵BD=AB=10，
∴5k=10解得：k=2，
∴DH=8，BH=6，AH=4，
又∵EH=AH=4，
∴DE=DH-EH=4．
分析：（1）利用等边三角形的性质及勾股定理先计算出DH的长，再利用三角形的中位线可求出EH，则DE的长可求解；
（2）利用角的正切值解直角三角形可求得DH、BH、AH的值，又因为△ABC是等腰直角三角形，所以△AHE也是等腰直角三角形，则EH可求，DE可解．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，及等腰直角三角形的性质，范围较广．