Question

如图1，四边形ABCD中，AC、BD为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为P，如果在点E的运动过程中，P的值不变，则我们称四边形ABCD为“Ω四边形”，此时P的值称为它的“Ω值”．经过探究，可得矩形是“Ω四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“Ω值”为

 

．

（1）等腰梯形

 

 （填“是”或“不是”）“Ω四边形”；
（2）如图3，BD是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD=3，AB=4，点C为

AB

上的一动点，将△DAB沿CD的中垂线翻折，得到△CEF．当点C运动到某一位置时，以A、B、C、D、E、F中的任意四个点为顶点的“Ω四边形”最多，最多有

 

个．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：证明矩形ABCD是Ω四边形，只要证明HE∥BD，即可证得．
（1）利用与上边相同的方法即可证得等腰梯形的周长是对角线长的2倍；
（2）根据矩形和（1）可以得到对角线相等的四边形一定是Ω四边形，根据折叠的性质，找到图形中相等的线段，即可确定四边形．

解答：解：∵EF∥AC，
∴

AE

BE

=

CF

BF

，
同理，

CF

BF

=

CG

DG

，

CG

DG

=

AH

DH

，
∴

AE

BE

=

AH

DH

，
∴EH∥BD．
∵EF∥AC，
∴

EF

AC

=

BE

AB

=

BF

BC

，
同理，

GF

BD

=

CF

BC

，
∴

EF

AC

+

GF

BD

=

BF+CF

BC

=

BC

BC

=1，
又∵AC=BD，
∴EF+GF=AC，
同理可证：EH+GH=AC．
∴四边形EFGH的周长是2AC=10．
（1）同上，可证得四边形EFGH的周长等于2AC，则等腰梯形是Ω四边形；
（2）根据折叠的性质可得：BD=CF，AD=CE，AB=EF，
易得四边形BCDF，四边形ACDE，四边形BAEF，为Ω四边形．
当C点运动到

AB

中点时，此时还有两个Ω四边形：四边形ADFC，四边形BCED．
则Ω四边形有：四边形BCDF，四边形ACDE，四边形BAEF，四边形ADFC，四边形BCED．共5个．


故答案是：10，是，5．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，正确证明矩形和等腰梯形中EH∥BD是关键．