Question

如图，在正方形ABCD中，已知CE=CF，CP⊥DE于点P，求证：PA⊥PF．

Answer 1

考点：正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：由条件易证Rt△PCD∽Rt△CED，可得

PC

CE

=

PD

CD

，结合条件CE=CF，CD=DA，所以有

PC

CF

=

PD

AD

，且易得∠PCD=∠PDA，所以可证得△PCF∽△PDA，可知∠CPF=∠DPA，则结论易证．

解答：证明：在Rt△CDE中，CP⊥DE
∴∠CPD=∠ECD=90°，且∠EDC为公共角，
∴Rt△PCD∽Rt△CED，
∴

PC

CE

=

PD

CD

，
∵CE=CF，CD=AD，
∴

PC

CF

=

PD

AD

，
∵∠PCD+∠CDE=90°，∠PDA+∠CDE=90°，
∴∠PCD=∠PDA，
∴△PCF∽△PDA，
∴∠CPF=∠DPA，
且∠CPF+∠FPD=90°，∠DPA+∠FPD=90°，
∴PA⊥PF．

点评：本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质的应用，解题的关键是证得

PC

CF

=

PD

AD

．