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【题目】如图,ABC是等边三角形,BC2.P从点A出发沿沿射线AB1的速度运动,过点PPEBC交射线AC于点E,同时点Q从点C出发沿BC的延长线以1的速度运动,连结BEEQ.设点P的运动时间为t.

1)求证:APE是等边三角形;

2)直接写出CE的长(用含的代数式表示);

3)当点P在边AB上,且不与点AB重合时,求证:BPE≌△ECQ.

4)在不添加字母和连结其它线段的条件下,当图中等腰三角形的个数大于3时,直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数.

【答案】1)见解析;(22-tt-2;(3)见解析;(4)当t=1时,图中有5个等腰三角形;当t=4时,图中有4个等腰三角形

【解析】

1)根据等边三角形的性质可得A=∠ABC=∠ACB =60°,根据平行线的性质可得APE=∠ABC=60°AEP=∠ACB=60°,再利用等边三角形的判定即可得证;

2)由(1)可得AE=AP=t,分E没过C点与过C点两种情况进行解答即可;

3ABC△APE都是是等边三角形,利用等边三角形的性质易证BP=ECBPE=∠ECQ=120°,再通过“边角边”证明△BPE≌△ECQ即可;

4)当PAB的中点,即t=1时,图中有5个等腰三角形;当P点在AP=2AB,即t=4时,图中有4个等腰三角形.

1∵△ABC是等边三角形,

∴∠A=∠ABC=∠ACB =60°

∴∠APE=∠ABC=60°AEP=∠ACB=60°

∴△APE是等边三角形;

2)∵APE是等边三角形,

∴AE=AP=t

E点没过C点时,AE=2t

E点过了C点时,AE=t2

3∵△ABC是等边三角形,

AB=ACACB=60°

∵△APE是等边三角形,

AP=PE=AEAPE=60°

AB-AP=AC-AEBPE=∠ECQ=120°

BP=EC

AP=CQ=t

PE=CQ

∴△BPEECQSAS);

4)如图1,当t=1时,图中有5个等腰三角形:△ABC△APE△PBE△CQE△EBQ

如图2,当t=4时,图中有4个等腰三角形:△ABC△APE△CBE△EQB.

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