Question

15．如图，⊙O的半径为5cm，AB、AC是⊙O的两条弦，AB=6$\sqrt{2}$cm，AC=8cm．过点O作一个圆与AC相切，则这个圆的半径是多少？它与AB具有怎样的位置关系？为什么？

Answer 1

分析 作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，连接OA，由垂径定理得出AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=4cm，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$cm，∠ODA=∠OEA=90°，由勾股定理求出OD，得出圆的半径，由勾股定理求出OE＜OD，得出与CA相切的圆与AB相交．

解答 解：作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，连接OA，如图所示：
则AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=4cm，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$cm，∠ODA=∠OEA=90°，
由勾股定理得：OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3（cm），OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$（cm），
即过点O作一个圆与AC相切，则这个圆的半径是3cm，
这个圆与AB相交，理由如下：
∵$\sqrt{7}$＜3，即d＜r，
∴与CA相切的圆与AB相交．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理、垂径定理等知识；本题综合性强，通过作辅助线运用垂径定理和勾股定理进行计算是解决问题的关键．