Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的两个顶点B和C在x轴上，OB=OC，AB=2BC=4．若一条抛物线的顶点为A，且过点C，动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，点P，Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）求出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积S最大？最大值为多少？

（3）在动点P，Q运动的过程中，是否存在点M，使以C，Q，E，M为顶点的四边形为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，4），y=﹣x2﹣2x+3；（2）t=2时，S的最大值为1；（3）t=20﹣8或t=．

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质可以写出点A的坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x﹣1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；

（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4﹣t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4﹣、点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣；最后根据三角形的面积公式可以求得S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣（t﹣2）2+1，由二次函数的最值可以解得t=2时，S△ACG的最大值为1；

（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上．

解：（1）∵在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的两个顶点B和C在x轴上，OB=OC，AB=2BC=4，

∴A（﹣1，4）．得C（1，0）

设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，把C（1，0）代入得：a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵A（﹣1，4），C（1，0），

∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+2．

∵点P（﹣1，4﹣t）．

∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+2中，解得点E的横坐标为x=﹣1+．

∴点G的横坐标为﹣1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．

∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．

又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，

即S=S△AEG+S△CEG=EGx +xEGx（2﹣）

=x2x（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．

当t=2时，S的最大值为1；

（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t，

根据△APE∽△ABC，知=，即=，

解得t=20﹣8；

第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2﹣t，MQ=4﹣2t．

则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣t）2+（4﹣2t）2=t2，

解得，t1=，t2=4（不合题意，舍去）．

综上所述，t=20﹣8或t=．