【题目】在平面直角坐标系xOy中,过y轴上一点A作平行于x轴的直线交某函数图象于点D,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线交y轴于点E(E在线段OA上,E不与点O重合),则称∠DPE为点D,P,E的“平横纵直角”.图1为点D,P,E的“平横纵直角”的示意图.如图2,在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数图象与y轴交于点F(0,m),与x轴分别交于点B(﹣3,0),C(12,0).若过点F作平行于x轴的直线交抛物线于点N.
(1)点N的横坐标为 ;
(2)已知一直角为点N,M,K的“平横纵直角”,若在线段OC上存在不同的两点M1、M2,使相应的点K1、K2都与点F重合,试求m的取值范围;
(3)设抛物线的顶点为点Q,连接BQ与FN交于点H,当45°≤∠QHN≤60°时,求m的取值范围.
【答案】(1)9;(2);(3)m的取值范围为.
【解析】
(1)利用抛物线的对称性即可得出结论;
(2)方法1、先判断出以FN为直径的圆与OC有两个交点,得出|m|<,即可得出结论;
方法2、先判断出△MOK∽△NWM,得出y=x2+x,当y=m时转化出关于x的方程只有一个实数根即可得出结论;
(3)先确定出a=m.进而得出y=m(x+3)(x12)=m(x)2+m.再得出tan∠BQG==,借助30°≤∠BQG≤45°,即可得出结论.
解:(1)∵抛物线与x轴分别交于点B(﹣3,0),C(12,0),
∴此抛物线的对称轴为x=,
∵FN∥x轴,且F(0,m),
∴N(n,m)横坐标满足0+n=9,
∴n=9
故答案为:9,
(2)方法一:∵MK⊥MN,
∴要使线段OC上存在不同的两点M1、M2,使相应的点K1、K2都与点F重合,也就是使以FN为直径的圆与OC有两个交点,即r>|m|.
∵,
∴.
又∵m>0,
∴.
方法二:∵m>0,
∴点K在x轴的上方.
过N作NW⊥OC于点W,
设OM=x,OK=y,
则 CW=OC﹣OW=3,WM=9﹣x.
∵一直角为点N,M,K的“平横纵直角”,
∴∠NMK=90°,
∴∠OMK+∠NMW=90°,
∵∠OMK+∠OKM=90°,
∴∠OKM=∠WMN,
∵∠KOM=∠MWN=90°,
∴△MOK∽△NWM,
∴,
∴.
∴.
当y=m时,,
化为x2﹣9x+m2=0.
当△=0,即92﹣4m2=0,
解得时,
线段OC上有且只有一点M,使相应的点K与点F重合.
∵m>0,
∴线段OC上存在不同的两点M1、M2,使相应的点K1、K2都与点F重合时,m的取值范围为.
(3)设抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x﹣12)(a≠0),
又∵抛物线过点F(0,m),
∴m=﹣36a.
∴.
∴.
过点Q作QG⊥x轴与FN 交于点R,
∴QG=m,
∵FN∥x轴,
∴∠QRH=90°,
∵tan∠BQG=,
,,
∴tan∠BQG==,
又45°≤∠QHN≤60°,
∴30°≤∠BQG≤45°,
∴当∠BQG=30°时,
∴tan30°=,
∴,
当∠BQG=45°时,tan45°=,
∴.
∴m的取值范围为.
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【题目】(题文)(1)阅读理解:
如图1,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD,把AB,AC,2AD集中在△ABE中.利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_________;
(2)问题解决:
如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证BE+CF>EF.
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【题目】已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)观察图象,直接写出不等式kx+b﹣>0的解集.
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【题目】如图,点A是直线y=2x与反比例函数y=(m为常数)的图象的交点.过点A作x轴的垂线,垂足为B,且OB=2.
(1)求点A的坐标及m的值;
(2)已知点P(0,n)(0<n≤8),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=2x于点C(x1,y1),交反比例函数y=(m为常数)的图象于点D(x2,y2),交垂线AB于点E(x3,y3),若x2<x3<x1,结合函数的图象,直接写出x1+x2+x3的取值范围.
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【题目】法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》,其主要突破在“五边形数”的证明上.如图为前几个“五边形数”的对应图形,请据此推断,第10个“五边形数”应该为( ),第2018个“五边形数”的奇偶性为( )
A. 145;偶数 B. 145;奇数 C. 176;偶数 D. 176;奇数
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【题目】已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB边上一点.
(1)直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G(如图1),求证:AE=CG;
(2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M(如图2),找出图中与BE相等的线段,并证明.
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【题目】某公司举行周年庆典,决定订购一批印有公司logo的记事本赠送给客户,购买甲种记事本共花费3000元,购买乙种记事本共花费2100元,购买甲种记事本的数量是购买乙种记事本数量的2倍,且购买一个乙种记事本比购买一个甲种记事本多花20元.
(1)求购买一个甲种记事本,一个乙种记事本各需多少元?
(2)由于公司业务的扩大,公司决定再次购买甲、乙两种记事本共40个,且乙种记事本不少于23个,预算金额不超过2400元,购买时恰逢该店对两种记事本的售价进行调整,甲种记事本售价比第一次购买时提高了10%,乙种记事本售价比第一次购买时降低了10%,请问该公司有哪几种方案购买这批记事本?
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【题目】图1是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形.
(1)请写出图2中阴影部分的面积;
(2)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
代数式:(m+n)2, (m﹣n)2, mn;
(3)根据(2)中的等量关系,解决如下问题:若a+b=7,ab=5,求(a﹣b)2的值.
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