Question

【题目】如图1，在中，，，，以为直径的半圆按如图所示位置摆放，点与点重合，点在边的中点处，点从现在的位置出发沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，点随之沿下滑，并带动半圆在平面内滑动，设运动时间为秒（），点运动到点处停止，点为半圆中点．

（1）如图2，当点与点重合时，连接交边于，则为____________；

（2）如图3，当半圆的圆心落在了的斜边的中线时，求此时的，并求出此时的面积；

（3）在整个运动的过程中，当半圆与边有两个公共点时，求出的取值范围；

（4）请直接写出在整个运动过程中点的运动路径长．

Answer 1

【答案】（1）0.5；（2）；；（3）当或时圆与边有两个交点；（4）

【解析】

（1）首先根据中点求出AN的长度，进而求出圆的半径，然后利用得到，可得出OE的长度，最后利用即可求解；

（2）首先利用等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质推出，进而有，则，从而求出t的值和CM,CN的长度，最后利用三角形面积公式求解即可；

（3）分两种情况：当MN在AC边上与圆相切时和当MN在BC边上与圆相切时，分别求出这两种临界状况，然后数形结合即可得出答案；

（4）分析出P点的运动轨迹，然后分三段分别进行讨论即可．

解：（1）∵N为AC中点，

∴ ，

．

∵点为半圆中点,

，

，

，

即 ，

解得 ，

；

（2） ，

．

如图，当圆心落在斜边中线时:

∵，

∴点在圆上，

∴，

∴．

设为中点，则，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

即，

解得,，

∴，

∴；

（3）如图，

当圆与边相切于点，连接，

∴．

∵，

∴，

∴，

即，

解得，

∴；

如图，

当圆与边相切于点，连接，

∴．

∵，

∴，

∴，

即，

解得，

∴，

综上，当或时圆与边有两个交点；

（4）当N点开始运动到N点与点C重合时，P点运动的路程为；

当点N与点C重合时，如图，

，

，

．

当圆运动到如图所示时，此时，

∵，O为MN中点，

∴ ，

，

∴当N点从C运动到如图所示时，P点始终在的角平分线上运动，

∴当N点从C运动到如图所示时，P点的运动路径为，

∴当N点从C运动到M点与C点重合时，这段时间内P运动的路径长为．

从M点与C点重合到N点与B重合，P运动的路程为 ，

∴整个过程中P点的运动路径长为 ．