Question

15．如图，点A，B为直线y=x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线$y=\frac{1}{x}$（x＞0）于C，D两点．若BD=2AC．
（1）直线y=x与双曲线$y=\frac{1}{x}$（x＞0）的交点坐标为（1，1）；
（2）则4CO²-OD²的值为6．

Answer 1

分析 （1）解析式联立方程，解方程求得即可；
（2）延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．设A、B的横坐标分别是a，b，点A、B为直线y=x上的两点，A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE=OE=a，BF=OF=b．根据BD=2AC即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∵x＞0，
∴直线y=x与双曲线$y=\frac{1}{x}$（x＞0）的交点坐标为（1，1），
故答案为（1，1）；
（2）延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．
设A、B的横坐标分别是a，b，
∵点A、B为直线y=x上的两点，
∴A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE=OE=a，BF=OF=b．
∵C、D两点在交双曲线$y=\frac{1}{x}$（x＞0）上，则CE=$\frac{1}{a}$，DF=$\frac{1}{b}$．
∴BD=BF-DF=b-$\frac{1}{b}$，AC=a-$\frac{1}{a}$．
又∵BD=2AC
∴b-$\frac{1}{b}$=2（a-$\frac{1}{a}$），
两边平方得：b²+$\frac{1}{{b}^{2}}$-2=4（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$-2），即b²+$\frac{1}{{b}^{2}}$=4（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）-6．
在直角△OCE中，OC²=OE²+CE²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$，同理OD²=b²+$\frac{1}{{b}^{2}}$，
∴4OC²-0D²=4（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）-（b²+$\frac{1}{{b}^{2}}$）=6．
故答案为6．

点评 本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用BD=2AC得到a，b的关系是关键．