Question

11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在AC上，CD=1，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，O为AB中点，连接OH，则OH的长为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，根据相似三角形的性质得到 $\frac{CH}{BC}$=$\frac{CD}{BD}$，求得CH，根据等腰直角三角形的性质得到AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，等量代换得到∠OCH=∠ABD，根据全等三角形的性质得到OE=OH，∠BOE=∠HOC推出△HOE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，
∵∠ACB=90°，CH⊥BD，
∵AC=BC=3，CD=1，
∴BD=$\sqrt{10}$，
∴△CDH∽△BDC，
∴$\frac{CH}{BC}$=$\frac{CD}{BD}$，
∴CH=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，
∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，
∴∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠DCH=∠CBD，∴∠OCH=∠ABD，
在△CHO与△BEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{CH=BE}\\{∠HCO=∠EBO}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△CHO≌△BEO，
∴OE=OH，∠BOE=∠HOC，
∵OC⊥BO，
∴∠EOH=90°，
即△HOE是等腰直角三角形，
∵EH=BD-DH-CH=$\sqrt{10}$-$\frac{\sqrt{10}}{10}$-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴OH=EH×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．