Question

如图，已知AB是⊙O₁的直径，点C是⊙O₁上不同于A，B的一点，以线段AC为直径作⊙O₂交AB于点D，过点D作DE∥BC，交⊙O₂于点E，交AC于点F．求证：
（1）EC是⊙O₁的切线；
（2）CE²=EF•BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证EC是⊙O₁的切线，只要证明∠O₁CB=90°即可．
（2）连接CD，由Rt△CFD∽Rt△BDC得CD²=FD•BC，由垂径定理知，CE=CD，EF=FD，故有CE²=EF•BC
解答：证明：（1）连接O₁C，则∠O₁CB=∠B，
∵DE∥BC，
∴∠EDA=∠B．
∵∠EDA=∠ECA，
∴∠ECA=∠O₁CB．
∵AB是⊙O₁的直径，
∴∠ACO₁+∠O₁CB=90°．
∵∠ECA=∠O₁CB，
∴∠ACO₁+∠ECA=90°．
∴EC是⊙O₁的切线．

（2）连接CD，则∠CDA=∠CDB=90°，
∵DE∥BC，∠ACB=90°，
∴∠CFD=∠ACB=90°．
∵AC是⊙O₂的直径，
∴AC垂直平分ED．
∴EF=FD，CE=CD．
∵∠FDC=∠DCB，∠CFD=∠BDC=90°，
∴△CFD∽△BDC．
∴．
∴CD²=FD•BC．
∵EF=FD，CE=CD，
∴CE²=EF•BC．
点评：此题主要考查切线的判定，相似三角形的判定及圆周角定理的综合运用．