Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在直线BC上，△ADE是等腰直角三角形，∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．
（1）当点D在线段BC上时（如图1），求证：DC+CE=AC；
（2）当点D在线段CB延长线上时（如图2）；当点D在线段BC延长线上时（如图3），探究线段DC、CE、AC之间的数量关系分别为，图2：______； 图3：______；

Answer 1

解：（1）如图1所示，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
即∠BAD+∠DAC=90°，
同理有AD=AE，∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴BC=CE+DC，
在Rt△ABC中，BC=AC，
∴CE+DC=AC；

（2）在图2中，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
即∠BAE+∠EAC=90°，
同理有AD=AE，∠DAB+∠BAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
又∵BC+BD=CD，
∴BC=CD-CE，
即AC=CD-CE；
在图3中，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ACE≌△ABD，
∴BD=CE，
即BC+CD=CE，
∴BC=CE-CD，
∴AC=CE-CD．
故答案是AC=CD-CE；AC=CE-CD．
分析：（1）利用△ABC是等腰直角三角形，易得AB=AC，∠BAC=90°，即有∠BAD+∠DAC=90°，同理可得AD=AE，∠DAC+∠CAE=90°，从而可证∠BAD=∠CAE，从而利用SAS可证△BAD≌△CAE，那么BD=CE，于是BC=CE+DC，再利用勾股定理可知BC=AC，进而可证CE+DC=AC；
（2）同（1）可证△BAD≌△CAE，那么BD=CE，而BC+BD=CD，易证AC=CD-CE；同理在图3中可证AC=CE-CD．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是利用SAS证明△BAD≌△CAE．