Question

8．如图，点E为正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，∠AEB=90°，若AE=2，BE=3，则CE=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 作EG⊥AB于G，EH⊥BC于H，由四边形ABCD是正方形，得到∠ABC=90°，由四边形BHEG是矩形，得到EG=BH，BG=EH，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，根据三角形的面积公式得到EG=$\frac{6}{\sqrt{13}}$，根据勾股定理得到BG=$\sqrt{B{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{6}{\sqrt{13}}）^{2}}$=$\frac{9}{\sqrt{13}}$，根据勾股定理得到CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

解答 解：作EG⊥AB于G，EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴四边形BHEG是矩形，∴
EG=BH，BG=EH，
∵∠AEB=90°，若AE=2，BE=3，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•EG=$\frac{1}{2}$AE•BE，
∴$\sqrt{13}$EG=2×3，
∴EG=$\frac{6}{\sqrt{13}}$，
∴BG=$\sqrt{B{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{6}{\sqrt{13}}）^{2}}$=$\frac{9}{\sqrt{13}}$，
∴HE=BG=$\frac{9}{\sqrt{13}}$，BH=EG=$\frac{6}{\sqrt{13}}$，
∴CH=BC-BH=$\sqrt{13}$-$\frac{6}{\sqrt{13}}$=$\frac{7}{\sqrt{13}}$，
∴CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．