Question

如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，以点P为圆心，以PB为半径作⊙P，设点P运动的时间为t秒．

（1）当⊙P与直线AC相切时，求t的值；

（2）当⊙P与⊙A相切时，求t的值；

（3） 延长BA交⊙A于点D，连接AP交⊙A于点E，连接DE并延长交BC于点F．当△ABP与△FBD相似时，求t的值．

 

Answer 1

解：(1)过点P作PK⊥AC，垂足为点K，

∵⊙P与直线AC相切，∴．

由AB=AC=，BC=8得△ABC是等腰直角三角形，

可得∠C=45°, ∴△PKC是等腰直角三角形．

∴PC=PK=t，∴t+t=8．

解得t=

（2）过点A作AM⊥BC,垂足为点M，则，

AM=， PM= t－４或４－t，

若⊙P与⊙A外切，则，

解得．

若⊙P与⊙A内切，则，

解得．

综上所述，当或时，⊙P与⊙A相切．

（3）当△ABP∽△FBD时，∠D=∠BPA，

又∠D=∠AED=∠FEP ，

∴∠D=∠AED=∠FEP =∠BPA．

∴∠BFD=2∠D．∵，

∴∠D=45°，∴∠BAP=90°．

∴AP与AC重合，∴．