Question

设a、b是自然数，且其中一个是奇数，若ax=by=20082，且

1

x

+

1

y

=

1

z

，则2a+b的一切可能的取值是（　　）

• A、2010，510
• B、267，4017
• C、2010，510，267，4017
• D、2008，2006，2004，2002

Answer 1

分析：首先将a^x=b^y=2008^z变形，得出a，b的值，然后借助对数有关知识，得出ab=2008，结合已知条件求出，所有符合条件的数据．

解答：解：∵a^x=b^y=2008^z
∴a=2008 

z

x

，b=2008 

z

y

，
∴lna+lnb=ln2008 

z

x

+ln2008 

z

y

=z（

1

x

+

1

y

）ln2008，
∵

1

x

+

1

y

=

1

z

，
∴lna+lnb=ln（ab）=ln2008，
∴ab=2008，
又因为a^x=b^y=2008^z，中a、b是自然数，且其中一个是奇数；
2008分解出所有两数相乘的形式如下：
∴2008=1×2008，或2008=2×1004（不合题意舍去）
2008=4×502（不合题意舍去），2008=8×251；
故a=1时b=2008或a=8时，b=251或b=1时，a=2008或b=8时，a=251．
分别代入2a+b
解得：
2a+b=2010，或267，或4017，或510．
故选C．

点评：此题主要考查了分式的等式证明，合理利用对数知识得出lna+lnb=ln2008 

z

x

+ln2008 

z

y

=z（

1

x

+

1

y

）ln2008，从而得出ab=2008，是解决问题的关键．