矩形ABCD中.BC=3.AB=8.E.F为AB.CD边上的中点.如图1.A在原点处.点B在y轴正半轴上.点C在第一象限.若点A从原点出发.沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动.则点B随之沿y轴下滑.并带动矩形ABCD在平面上滑动.如图2.设运动时间表示为t秒.当B到达原点时停止运动．(1)当t=0时.求点F的坐标及FA的长度,(2)当t=4时.求OE的长及� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．矩形ABCD中，BC=3，AB=8，E、F为AB、CD边上的中点，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面上滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当B到达原点时停止运动．
（1）当t=0时，求点F的坐标及FA的长度；
（2）当t=4时，求OE的长及∠BAO的大小；
（3）求从t=0到t=4这一时段点E运动路线的长；
（4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．

分析（1）先确定出DF，进而得出点F的坐标即可得出AF；
（2）利用直角三角形的性质得出∠ABO=30°，OE=4，即可得出结论；
（3）先判断出点E运动的路线，利用弧长公式即可得出结论；
（4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．

解答解：（1）当t=0时，
∵AB=CD=8，F为CD中点，
∴DF=4，
∴F（3，4），
∴AF=5，

（2）当t=4时，OA=4，
在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，点E是AB的中点，
∴∠ABO=30°，OE=4，
∴∠BAO=60°，

（3）从t=0到t=4这一时段，点E运动路线是以O为圆心，OE为半径圆心角是30°的一段弧，
（其中OE=OE₁=4，∠E₁OE=90°-60°=30°，）
∴点E运动路线的长为$\frac{30π×4}{180}$=$\frac{2}{3}$π；

（4）在Rt△ADF中，FD²+AD²=AF²，
∴AF=$\sqrt{F{D}^{2}+A{D}^{2}}$=5，
①设AO=t₁时，⊙F与x轴相切，点A为切点，
∴FA⊥OA，
∴∠OAB+∠FAB=90°，
∵∠FAD+∠FAB=90°，
∴∠BAO=∠FAD，
∵∠BOA=∠D=90°，
∴Rt△FAE∽Rt△ABO，
∴$\frac{AB}{FA}=\frac{AO}{FE}$，
∴$\frac{8}{5}=\frac{{t}_{1}}{3}$，
∴t₁=$\frac{24}{5}$，
②设AO=t₂时，⊙F与y轴相切，B为切点，同理可得，t₂=$\frac{32}{5}$，
综上所述，当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为$\frac{24}{5}$或$\frac{32}{5}$．

点评此题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO=30°，解（3）的关键是判断出点E的运动路线，解（4）的关键是判断出Rt△FAE∽Rt△ABD，是一道中等难度的中考常考题．

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（3）探究：在（2）的条件下
①当A运动到什么位置时，△ABO的面积为$\frac{9}{4}$，并说明理由．
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