Question

已知关于x的方程x²－2(m＋1)x＋m²－2m－3＝0　　①的两个不相等的实数根中有一个根为0，是否存在实数k使关于x的方程x²－(k－m)x－k－m²＋5m－2＝0　　②的两个实数根x₁，x₂之差的绝对值为1？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

∵方程①有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－2(m＋1)]2－4(m2－2m－3)＝16m＋16＞0，∴m＞－1又∵方程①有一根为0，∴m2－2m－3＝0，∴m1＝－1(舍去)，m2＝3．∴m＝3． 　　当m＝3时，方程②变形为x2－(k－3)x－k＋4＝0， 　　∵x1、x2是方程②的两个实数根，∴x1＋x2＝k－3，x1·x2＝－k＋4，若|x1－x2|，则有k2－2k－8＝0，∴k1＝－2，k2＝4，当k＝－2时，Δ＝1＞0，此时方程②为x2＋5x＋6＝0，解x1＝－3，x2＝－2．满足条件；当k＝4时，Δ＝1＞0，此时方程②为x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝1，亦满足条件．∴k＝－2或4．∴存在实数k＝－2或4，使得方程②的两个实数根之差的绝对值为1．