Question

如图，已知正方形ABCD，以CD为边作等边△DEC，并连接AE、BC，求S_△EMN：S_△ADN．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质,正方形的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；证明△EFN∽△ADN，得到

S△EFN

S△ADN

=(

EF

AD

)2=

3

4

；证明△EMF与△ENF的面积相等，即可解决问题．

解答：解：如图，过点E作EF⊥CD于点F；
设正方形ABCD的边长为λ，
∵△DCE为等边三角形，
∴DF=CF；∠EDF=60°，DE=DC=λ；
∴sin60°=

EF

DE

，EF=

3

2

λ；
∵AD⊥DC，EF⊥DC，
∴AD∥EF，△EFN∽△ADN，
∴

S△EFN

S△ADN

=(

EF

AD

)2=

3

4

；
在△ADE与△BCE中，

DE=CE ∠ADE=∠BCE AD=BC

，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴EA=EB，∠EAB=∠EBA；
∵MN∥AB，
∴∠ENM=∠EAB，∠EMN=∠EBA，
∴∠EMN=∠ENM，而EF⊥MN，
∴NF=MF，△EMF与△ENF的面积相等，
∴S_△EMN：S_△ADN=3：2．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、等边三角形的性质、正方形的性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．