Question

如图，二次函数y=ax²+2ax+b的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（0，

3

2

），其顶点在直线y=-2x上．
（1）求a，b的值；
（2）写出当-2≤x≤2时，二次函数y的取值范围；
（3）以AC、CB为一组邻边作?ACBD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该二次函数的图象上？请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a和b的值；
（2）根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；
（3）根据平行四边形的性质得出D点的坐标，即可得出D′点的坐标，即可得出答案．

解答：解：（1）抛物线的对称轴是直线x=-1，顶点坐标是（-1，2），
可求得a=-

1

2

，b=

3

2

；
（2）当-2≤x≤2时，-

5

2

≤y≤2，
（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，
在△AOC和△BDE中，
∵

∠DEB=∠AOC ∠DBE=∠CAO BD=AC

，
∴△AOC≌△BED（AAS），
∵AO=1，
∴BE=1，
∵二次函数解析式为：y=-

1

2

x²-x+

3

2

，
∴图象与y轴交点坐标为：（0，

3

2

），
∴CO=

3

2

，∴DE=

3

2

，
D点的坐标为：（-2，-

3

2

），
∴点D关于x轴的对称点D′坐标为：（-2，

3

2

），
代入解析式y=-

1

2

x²-x+

3

2

，
∵左边=

3

2

，右边=-

1

2

×4+2+

3

2

=

3

2

，
经检验，点D′在该二次函数的图象上．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出D点的坐标是解决问题的关键