Question

如果n为正偶数，并且（n-1）²整除n²⁰⁰⁶-1，那么n的最大值为

1004

．

Answer 1

分析：首先利用n^k-1=（n-1）（n^k-1+n^k-2+n^k-3+…+n+1）把n²⁰⁰⁶-1分解因式，然后把n²⁰⁰⁵+n²⁰⁰⁴+n²⁰⁰³+…+n+1变为（n²⁰⁰⁵-1）+（n²⁰⁰⁴-1）+…+（n²-1）+（n-1）+2006，接着利用数的整除性即可解决问题．

解答：解：∵n²⁰⁰⁶-1=（n-1）（n²⁰⁰⁵+n²⁰⁰⁴+n²⁰⁰³+…+n+1），
∴（n-1）²整除n²⁰⁰⁶-1就是（n-1）整除n²⁰⁰⁵+n²⁰⁰⁴+n²⁰⁰³+…+n+1，
而n²⁰⁰⁵+n²⁰⁰⁴+n²⁰⁰³+…+n+1=（n²⁰⁰⁵-1）+（n²⁰⁰⁴-1）+…+（n²-1）+（n-1）+2006，
但（n-1）整除n^k-1，k=1、2、…，2005，
∴（n-1）整除2006，
又n为正偶数，
故n的最大值为1004．
故答案为：1004．

点评：此题主要考查了数的整除性问题，解题时多次利用公式n^k-1=（n-1）（n^k-1+n^k-2+n^k-3+…+n+1），然后利用数的整除性即可求解．