Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D， 点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）试判断直线BC与OD的位置关系，并说明理由.

（2）若BD＝，BF＝3，求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）⊙O的半径是3．

【解析】

（1）连接OD，由OA＝OD得到∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠CAB得到∠OAD＝∠CAD，则∠ODA＝∠CAD，求出OD//AC，进而得到OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，

∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD//AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，
即(R+3)2＝()2+R2，
解得：R＝3，
即⊙O的半径是3．