【题目】(1)如图①所示,将绕顶点按逆时针方向旋转角,得到,,分别与、交于点、,与相交于点.求证:;
(2)如图②所示,和是全等的等腰直角三角形,,与、分别交于点、,请说明,,之间的数量关系.
【答案】(1)见解析;(2)FG2=BF2+GC2.理由见解析
【解析】
(1)利用ASA证明△EAF≌△BAH,再利用全等三角形的性质证明即可;
(2)结论:FG2=BF2+GC2.把△ABF旋转至△ACP,得△ABF≌△ACP,再利用三角形全等的知识证明∠ACP+∠ACB=90°,根据勾股定理进而可以证明BF、FG、GC之间的关系.
(1)证明:如图①中,
∵AB=AC=AD=AE,∠CAB=∠EAD=90°,
∴∠EAF=∠BAH,∠E=∠B=45°,
∴△EAF≌△BAH(ASA),
∴AH=AF;
(2)解:结论:GF2=BF2+GC2.
理由如下:如图②中,把△ABF旋转至△ACP,得△ABF≌△ACP,
∵∠1=∠4,AF=AP,CP=BF,∠ACP=∠B,
∵∠DAE=45°
∴∠1+∠3=45°,
∴∠4+∠3=45°,
∴∠2=∠4+∠3=45°,
∵AG=AG,AF=AP,
∴△AFG≌△AGP(SAS),
∴FG=GP,
∵∠ACP+∠ACB=90°,
∴∠PCG=90°,
在Rt△PGC中,∵GP2=CG2+CP2,
又∵BF=PC,GP=FG,
∴FG2=BF2+GC2.
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【题目】如图,小明准备测量一段水渠的深度,他把一根竹竿AB竖直插到水底,此时竹竿AB离岸边点C处的距离米。竹竿高出水面的部分AD长0.5米,如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则水渠的深度BD为( )
A. 2米B. 2.5米C. 2.25米D. 3米
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【题目】如图,平行四边形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A,C在反比例函数y= 的图象上,点A的横坐标为4,点B的横坐标为6,且平行四边形OABC的面积为9,则k的值为_____.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(﹣6,0),C(0,2).将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转,使点A恰好落在OB上的点A1处,则点B的对应点B1的坐标为_____.
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【题目】在平面直角坐标系中点、分别是轴、轴上的点且点的坐标是,.点在线段上,是靠近点的三等分点.点是轴上的点,当是等腰三角形时,点的坐标是__________.
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【题目】设二次函数 y=ax2+bx﹣(a+b)(a,b 是常数,a≠0).
(1)判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数,说明理由.
(2)若该二次函数图象经过 A(﹣1,4),B(0,﹣1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式.
(3)若 a+b<0,点 P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:a>0.
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【题目】如图1是一座立交桥的示意图(道路宽度忽略不计), A为入口, F,G为出口,其中直行道为AB,CG,EF,且AB=CG=EF ;弯道为以点O为圆心的一段弧,且,,所对的圆心角均为90°.甲、乙两车由A口同时驶入立交桥,均以10m/s的速度行驶,从不同出口驶出. 其间两车到点O的距离y(m)与时间x(s)的对应关系如图2所示.结合题目信息,下列说法:①甲车在立交桥上共行驶8s;②从F口出比从G口出多行驶40m;③甲车从F口出,乙车从G口出;④立交桥总长为150m.其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ①
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【题目】如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD是⊙O的切线,AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点,CE交⊙O于点F,连结OC,AC.
(1)求证:AC平分∠DAO;
(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.①求∠OCE的度数.②若⊙O的半径为,求线段EF的长.
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【题目】如图,已知中,,厘米,厘米,点为的中点.如果点在线段上以每秒2厘米的速度由点向点运动,同时,点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动,设运动时间为(秒).
(1)用含的代数式表示的长度;
(2)若点、的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由;
(3)若点、的运动速度不相等,当点的运动速度为多少时,能够使与全等?
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