Question

14．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，E是CD的中点，BE交AC于F，过点F作FG∥AB，交AE于点G．
（1）求证：AG=BF；
（2）当AD²=CA•CF时，求证：AB•AD=AG•AC．

Answer 1

分析 （1）根据等腰梯形的性质求得∠ADE=∠BCE，进而证得△ADE≌△BCE，得出AE=BE，根据平行线分线段成比例定理即可证得结论；
（2）先根据已知条件证得△CAB∽△CBF，证得$\frac{AB}{BF}=\frac{AC}{BC}$，因为BF=AG，BC=AD，所以$\frac{AB}{AG}=\frac{AC}{AD}$，从而证得AB•AD=AG•AC．

解答 证明：（1）∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，
∴∠ADE=∠BCE，
在△ADE和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADE=∠BCE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△BCE．
∴AE=BE，
∵FG∥AB，
∴$\frac{AG}{AE}=\frac{BF}{BE}$，
∴AG=BF．

（2）∵AD²=CA•CF，
∴$\frac{AD}{CA}=\frac{CF}{AD}$，
∵AD=BC，
∴$\frac{BC}{CA}=\frac{CF}{BC}$．
∵∠BCF=∠ACB，
∴△CAB∽△CBF．
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{AC}{BC}$．
∵BF=AG，BC=AD，
∴$\frac{AB}{AG}=\frac{AC}{AD}$．
∴AB•AD=AG•AC．

点评 本题考查了等腰梯形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判断和性质，平行线分线段成比例定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．