Question

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O(0，0)、A(2，0)、B(6，3)．

(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O₁、A₁、C₁、B₁，得到如图2的梯形O₁A₁B₁C₁．设梯形O₁A₁B₁C₁的面积为S，A₁、B₁的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)．用含S的代数式表示x₂－x₁，并求出当S＝36时点A₁的坐标；

(3)在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)对称轴：直线　1分 　　解析式：或　2分 　　顶点坐标：M(1，)　3分 　　(2)由题意得 　　3　1分 　　得：①　2分 　　　得：②　3分 　　把②代入①并整理得：(S＞0)(事实上，更确切为S＞6)4分 　　当时，解得：(注：S＞0或S＞6不写不扣分) 　　把代入抛物线解析式得 　　∴点A1(6，3)　5分 　　(3)存在　1分 　　解法一：易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为 　　∴BD＝5，DE＝，DP＝5－t，DQ＝t 　　当∥时， 　　 　　得　2分 　　下面分两种情况讨论：设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G 　　①当时，如图 　　∵△FQE∽△FAG 　　∴∠FGA＝∠FEQ 　　∴∠DPQ＝∠DEB　易得△DPQ∽△DEB 　　∴ 　　∴ 　　得 　　∴(舍去)　3分 　　②当时，如图 　　∵△FQE∽△FAG 　　∴∠FAG＝∠FQE 　　∵∠DQP＝∠FQE　∠FAG＝∠EBD 　　∴∠DQP＝∠DBE　易得△DPQ∽△DEB 　　∴∴，∴ 　　∴当秒时，使直线、直线、x轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似　4分　(注：未求出能得到正确答案不扣分) 　　解法二：可将向左平移一个单位得到，再用解法一类似的方法可求得，， 　　∴　，