Question

如图，反比例函数y=

k

x

（x＞0）上有两点A（4，1）、B（a，b）：（0＜a＜4），过点A作AC⊥y轴于点C，
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）在坐标平面内有一点D，使四边形ABCD是菱形，求出B、D两点的坐标；
（3）如果四边形ABCD是平行四边形，且面积为12，求出此平行四边形对角线可达的最大长度．

Answer 1

分析：（1）已知反比例函数图象上的一点坐标，利用待定系数法即可确定该反比例函数的解析式．
（2）若四边形ABCD是菱形（AC为对角线），根据菱形的对角线互相垂直平分的特性，可确定点B的横坐标，再由反比例函数的解析式可确定点B的坐标；由于B、D关于直线AC对称，即可确定点D的坐标．
（3）平行四边形的一条对角线将该平行四边形分成面积相等的两个三角形，可以AC为底、B与A的纵坐标差的绝对值为高，可表示出其中一个三角形的面积，进而可表示出该平行四边形的面积，由四边形的面积为12，可确定点B的坐标，进而可得到点D的坐标，然后分别求出AC、BD的长，即可得到平行四边形的对角线的最大长度．

解答：解：（1）∵反比例函数y=

k

x

（x＞0）上经过点A（4，1），
∴1=

k

4

，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为：y=

4

x

（x＞0）；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
因此点B的横坐标为：a=2；
由于点B在反比例函数的图象上，那么ab=4，即b=2；
因此B（2，2）；
由于B、D关于直线AC（即y=1）对称，所以D（2，0）．

（3）∵四边形ABCD是平行四边形，且面积为12，
∴2×

1

2

×AC×|y_B-y_A|=12，即：4×|y_B-1|=12；
由于y_B＞0，解得y_B=4，即B（a，4）；
代入反比例函数的解析式中，可得B（1，4），AC中点坐标为（2，1），
则D（2×2-1，2×1-4）即（3，-2）；
因此对角线AC=4，BD=

(3-1)2+(-2-4)2

=2

10

；
因此平行四边形的对角线可达的最大长度为2

10

．

点评：此题考查的知识点有：反比例函数解析式的确定、菱形的性质和判定、平行四边形的性质以及面积的求法等知识，熟练掌握各种特殊四边形的性质，是准确解题的关键．