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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，四边形ABCO是矩形，点A（3，0），B（3，4），动点M、N分别从点O、B出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP∥OC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒，△MPA的面积为S．精英家教网
    （1）求点P的坐标．（用含x的代数式表示）
    （2）写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．
    （3）当△APM与△ACO相似时，求出点P的坐标．
    （4）△PMA能否成为等腰三角形？如能，直接写出所有点P的坐标；如不能，说明理由．
    分析：（1）先确定直线AB的解析式，以及N点的坐标后可以确定P点的横坐标，再把它代入直线方程解出P点坐标．
    （2）由P点的纵坐标可以知道△MPA中边AM上的高，再求出AM的长，即可求得三角形面积．
    （3）当△APM与△ACO相似时∠APM=90°，
    AP
    AM
    =
    AO
    AC
    或者
    AM
    AP
    =
    AO
    AC
    ，根据这个式子列出等量关系可以求得x的值．进而求得P点坐标．
    （4）△PMA能成为等腰三角形时，有两边长相等，此时分三种情况①AM=AP；②AP=PM；③MP=MA；根据勾股定理得出关于x的方程，求出方程的解即可．
    解答：解：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
    过点A（3，0）、C（0，4），解得：
    y=-
    4
    3
    x+4    ，
    N点坐标为（3-x，4），所以P点横坐标为：3-x，
    代入直线解析式得纵坐标为
    4
    3
    x    ，
    所以P点坐标为：（3-x，
    4
    3
    x    ）；

    （2）AM边上的高为P点纵坐标，
    所以有：h=
    4
    3
    x    ，
    M点坐标为（x，0），
    AM=3-x，
    所以有：S=
    1
    2
    AM•h，
    解得：S=-
    2
    3
    x2+2x    =-
    2
    3
    (x-
    3
    2
    )    2     +
    3
    2
    ，
    解得S的最大值为
    3
    2
    ，

    （3）由题目可知AO=3，AC=5，AM=3-x，AP=
    5
    3
    x    ，
    ∵
    AP
    AM
    =
    AO
    AC

    ∴
    5
    3
    x
    3-x
    =
    3
    5
    ，解得：
    x=
    27
    34
    ，即P点坐标为（
    75
    34
    ，
    18
    17
    ），
    同理可得当
    AM
    AP
    =
    AO
    AC
    时，
    P点坐标为（
    3
    2
    ，2）；
    故有P点坐标为：P1（
    75
    34
    ，
    18
    17
    ）、P2（
    3
    2
    ，2）；

    （4）△PMA能成为等腰三角形，
    有三种情况：①AM=AP时，[3-（3-x）]2+(0-
    4
    3
    x)    2    =（3-x）2，
    解得：x1=
    9
    8
    ，x2=-
    9
    2
    （舍去），
    ∴3-x=
    15
    8
    ，
    4
    3
    x=
    3
    2
    ，
    ∴P的坐标是（
    15
    8
    ，
    3
    2
    ），
    ②AP=PM时，[3-（3-x）]2+(0-
    4
    3
    x)    2    =[（3-x）-x]2+(
    4
    3
    x-0)    2    ，
    解得：x1=1，x2=3（舍去），
    ∴3-x=2，
    4
    3
    x=
    4
    3
    ，
    ∴P的坐标是（2，
    2
    3
    ），
    ③MP=MA时，[（3-x）-x]2+(
    4
    3
    x-0)    2    =（3-x）2，
    解得：x1=0（舍去），x2=
    54
    43
    ，
    ∴3-x=
    75
    43
    ，
    4
    3
    x=
    72
    43
    ，
    ∴P的坐标是（
    75
    43
    ，
    72
    43
    ），
    即P点的坐标分别为
    P1（2，
    4
    3
    ）、P2（
    15
    8
    ，
    3
    2
    ）、P3（
    75
    43
    ，
    72
    43
    ）．
    答：△PMA能成为等腰三角形，此时P点的坐标分别为
    P1（2，
    4
    3
    ）、P2（
    15
    8
    ，
    3
    2
    ）、P3（
    75
    43
    ，
    72
    43
    ）．
    点评：本题属于综合题，主要考查了二次函数的性质和最值求法，同时还考查了三角形的相关知识．
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    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？
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