Question

20．如图，在我市的上空一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，沿航线AB的正下方有两个景点水城明珠大剧院（记为点C），光岳楼（记为点D），飞机在A处时，测得景点C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了3千米到B处时，往后测得景点C的俯角为30°．而景点D恰好在飞机的正下方，求水城明珠大剧院与光岳楼之间的距离（最后结果精确到0.1千米）

Answer 1

分析 首先证明△ABC是直角三角形，分别在RT△ABC，RT△ABD中求出BC、BD、BE，再在RT△CDE中利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：由题意，∠BAC=60°，∠ABC=30°，∠BAD=90°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-30°-60°=90°，
∴在RT△ABC中，BC=AB•cos30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（千米），
在RT△ABD中，BD=AB•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$（千米），
过点C作CE⊥BD于点E，
∵AB⊥BD，∠ABC=30°，
∴∠CBE=60°，
∴BE=BC•cos60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
DE=BD-BE=$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
CE=BC•sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{4}$，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{21}$≈2.3（千米）．

点评 本题考查解直角三角形应用-俯角俯角、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，属于中考常考题型．