Question

2．如图，已知一次函数y=-$\frac{1}{3}$x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标及线段AB的长度；
（2）在如图的坐标系中找一点P，求出以AB为腰的等腰△ABP的顶点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线AB的解析式可以求得A，B的坐标，即可求得AB的长度；
（2）分两种情况讨论：①点B为直角顶点时，BP=BA，求出直线PB解析式为y=3x+1，设P点坐标为（x，3x+1），根据题意得出方程，解方程即可；
②点A为直角顶点时，AP=AB，求出直线PB解析式为y=3x+1，设P点坐标为（x，3x+1），根据题意得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）直线AB解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，
∵x=0时，y=1，
∴点B坐标为（0，1），
∵y=0时，x=3，
∴点A坐标为（3，0），
AB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
（2）分两种情况：
①点B为直角顶点时，如图1所示：
则存在点P和P'满足BP=BA，
∵PB⊥AB，
∴设直线PB为y=3x+b，代入点B坐标得：b=1，
∴直线PB解析式为y=3x+1，
设P点坐标为（x，3x+1），则x²+（3x+1-1）²=10，
解得：x=1或-1，y=4或-2，
∴P点坐标为（1，4），（-1，-2）；
②点A为直角顶点时，如图2所示：
则存在点P满足AP=BA，
∵PB⊥AB，
∴设直线PA为y=3x+b，代入点A坐标得：b=-9，
∴直线PB解析式为y=3x-9，
设P点坐标为（x，3x-9），
则（x-3）²+（3x-9）²=10，
解得x=2或4，y=-3或3，
∴P点坐标为（2，-3），（4，3）；
综上所述：P点坐标为（1，4）或（-1，-2）或（2，-3）或（4，3）．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、勾股定理、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，有一定难度；本题中分类讨论点P的位置是解题的关键．