Question

5．已知x，y，z都为不为0的有理数，求$\frac{\left|x\right|}{x}+\frac{\left|y\right|}{y}+\frac{\left|z\right|}{z}+\frac{\left|xyz\right|}{xyz}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 此题要分两种情况进行讨论，①当x，y，z中有三正；②当x，y，z中有二负一正；③当x，y，z中有一负二正；④当x，y，z中有三负；分别进行计算．

解答 解：①当x，y，z中有三正，
$\frac{\left|x\right|}{x}+\frac{\left|y\right|}{y}+\frac{\left|z\right|}{z}+\frac{\left|xyz\right|}{xyz}$
=1+1+1+1
=4；
②当x，y，z中有二负一正，
$\frac{\left|x\right|}{x}+\frac{\left|y\right|}{y}+\frac{\left|z\right|}{z}+\frac{\left|xyz\right|}{xyz}$
=-1-1+1+1
=0；
③当x，y，z中有一负二正，
$\frac{\left|x\right|}{x}+\frac{\left|y\right|}{y}+\frac{\left|z\right|}{z}+\frac{\left|xyz\right|}{xyz}$
=-1+1+1-1
=0；
④当x，y，z中有三负，
$\frac{\left|x\right|}{x}+\frac{\left|y\right|}{y}+\frac{\left|z\right|}{z}+\frac{\left|xyz\right|}{xyz}$
=-1-1-1-1
=-4．
故$\frac{\left|x\right|}{x}+\frac{\left|y\right|}{y}+\frac{\left|z\right|}{z}+\frac{\left|xyz\right|}{xyz}$的最大值是4，最小值是-4．

点评 此题主要考查了绝对值，以及有理数的除法，关键是要分清分几种情况，然后分别进行讨论计算．