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    已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．

    （1）如图1，若AB∥ON，则
    ①∠ABO的度数是
    20°
    20°
    ；
    ②当∠BAD=∠ABD时，x=
    120°
    120°
    ；当∠BAD=∠BDA时，x=
    60°
    60°
    ．
    （2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
    分析：利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
    解答：解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°
    ∵AB∥ON∴∠ABO=20°
    ②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°
    ∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°
    故答案为：①20     ②120，60

    （2）①当点D在线段OB上时，
    若∠BAD=∠ABD，则x=20            
    若∠BAD=∠BDA，则x=35            
    若∠ADB=∠ABD，则x=50
    ②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
    所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．     
    综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
    且x=20、35、50、125．
    点评：本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
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    精英家教网如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．

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    12、已知如图所示，∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为
    100度
    ．

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    如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数．（先作图，再计算）

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    已知∠AOB=120°，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB．
    （1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则∠MON
    80
    80
    °
    （2）如图②，若∠COD=40°，∠AOC≠∠DOB，则∠MON
    80
    80
    °
    （3）如图③，在∠AOB内，若∠COD=a（0°＜a＜60°），则∠MON
    （60+
    1
    2
    α）
    （60+
    1
    2
    α）
    °
    （4）将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（0°＜∠AOC＜180°，0°＜∠BOD＜180°），求此时∠MON的度数．

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