Question

8．如图，点E、F在函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF=1：3，则△EOF的面积是$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 证明△BPE∽△BHF，利用相似比可得HF=4PE，根据反比例函数图象上点的坐标特征，设E点坐标为（t，$\frac{2}{t}$），则F点的坐标为（3t，$\frac{2}{3t}$），由于S_△OEF+S_△OFD=S_△OEC+S_梯形ECDF，S_△OFD=S_△OEC=1，所以S_△OEF=S_梯形ECDF，然后根据梯形面积公式计算即可．

解答 解：作EP⊥y轴于P，EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，如图所示：
∵EP⊥y轴，FH⊥y轴，
∴EP∥FH，
∴△BPE∽△BHF，
∴$\frac{PE}{HF}=\frac{BE}{BF}$=$\frac{1}{3}$，即HF=3PE，
设E点坐标为（t，$\frac{2}{t}$），则F点的坐标为（3t，$\frac{2}{3t}$），
∵S_△OEF+S_△OFD=S_△OEC+S_梯形ECDF，
而S_△OFD=S_△OEC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴S_△OEF=S_梯形ECDF=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{3t}$+$\frac{2}{t}$）（3t-t）=$\frac{8}{3}$；
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质；掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义，证明三角形相似是解决问题的关键．