Question

12．如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：x₁、x₂是方程x²+6x-3=0的两根，求x₁²+x₂²的值．解法可以这样：∵x₁+x₂=-6，x₁x₂=-3，则x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-6）²-2×（-3）=42．请你根据以上解法解答下题：
（1）若方程x²+bx+c=0的两根分别为1和3，求b和c的值；
（2）已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的两根，求：
①$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的值；②（x₁-x₂）²的值；③-6x₁²-24x₂+7的值；④（x₁²-3x₁+5）（x₂²-5x₂-1）的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程ax²+bx+c=0的根与系数关系可得x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$即可求得b、c的值；
（2）根据一元二次方程ax²+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=4，x₁x₂=$\frac{c}{a}$=2，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．

解答 解：（1）∵x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，x₁=1，x₁=3，a=1，
∴1+3=-b，1×3=c，
∴b=-4，c=3；
（2）∵x₁+x₂=4，x₁x₂=2，x₁²-4x₁+2=0，x₂²-4x₂+2=0，
∴①$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4}{2}$=2；
②（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4²-4×2=8．
③-6x₁²-24x₂+7
=-6x₁²-24（4-x₁）+7
=-6x₁²+24x₁-89
=-6（x₁²-4x₁+2）-77
=-77；
④（x₁²-3x₁+5）（x₂²-5x₂-1）
=（x₁²-4x₁+2+x₁+3）（x₂²-4x₂+2-x₂-3）
=（x₁+3）（-x₂-3）
=-[x₁x₂+3（x₁+x₂）+9]
=-（2+3×4+9）
=-23．

点评 本题主要考查一元二次方程ax²+bx+c=0的根与系数，两根之和是-$\frac{b}{a}$，两根之积是$\frac{c}{a}$，难度适中．