Question

9．如图所示，已知直线l：y=2kx+2-4k（k为实数），直线l与x轴正半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则△AOB面积的最小值是8．

Answer 1

分析 可用k分别表示出A、B两点的坐标，则可得到OA、OB的长，可用k表示出△AOB的面积，再利用基本不等式可求得答案．

解答 解：
在y=2kx+2-4k中，
令y=0可得，0=2kx+2-4k，解得x=$\frac{2k-1}{k}$，
令x=0可得，y=2-4k，
∴A（$\frac{2k-1}{k}$，0），B（0，2-4k），
∴OA=$\frac{2k-1}{k}$，OB=2-4k，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{2k-1}{k}$×（2-4k）=-$\frac{（2k-1）^{2}}{k}$=-$\frac{4{k}^{2}-4k+1}{k}$=-4k-$\frac{1}{k}$+4，
∵k＜0，
∴-4k＞0，-$\frac{1}{k}$＞0，且-4k×（-$\frac{1}{k}$）=4，
∴-4k-$\frac{1}{k}$≥2$\sqrt{4}$=4，
∴-4k-$\frac{1}{k}$+4≥8，即S_△AOB≥8，
即△AOB面积的最小值是8，
故答案为：8．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，把△AOB的面积用k表示出来是解题的关键．