Question

15．已知直线M上依次有三点A、B、C、D、E是直线1同侧的两点，其中DA=DB，EB=EC，BC=nAB，作直线AE、CD交于点P

（1）当∠ADB=∠BEC时，解答下列问题：
①如图1，若n=1，求$\frac{EP}{AP}$的值；
②如图2，若$\frac{EP}{AP}$=$\frac{4}{15}$，求n的值；
（2）如图3，若∠ADB=∠EBC=30°，且n=$\sqrt{3}$，直接写出$\frac{EP}{AP}$的值．

Answer 1

分析 （1）①如图1中，连接DE．只要证明四边形ADEB，四边形BCED是平行四边形即可解决问题；
②如图2中，设 AE交BD于O，CD交BE于K，设AB=a，则BC=na，AC=（n+1）a，由EK∥AD，可得$\frac{EK}{AD}$=$\frac{EP}{PA}$=$\frac{4}{15}$，设EK=4m，则AD=15m，由BK∥AD，可得$\frac{BK}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{n}{n+1}$，推出BK=$\frac{n}{n+1}$•15m，由由△EBC∽△DAB，推出$\frac{EB}{DA}$=$\frac{BC}{AB}$，由此列出方程即可解决问题；
（2）首先证明含有15°的直角三角形是三边比为1：（2+$\sqrt{3}$）：（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$），如图3中，作CN⊥AP于N，EM⊥AC于M，AP交BD于O．设AB=m则BC=$\sqrt{3}$n，易知BM=CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，EM=$\frac{1}{2}$a．EB=EC=a，利用15°角以及特殊角的三角函数想办法求出PE、AP的值即可解决问题；

解答 解：（1）①如图1中，连接DE．

∵DA=DB，EB=EC，
∠DAB=∠DBC，∠EBC=∠ECB，
∵∠ADB=∠BEC，
∴易知∠DAB=∠DBC-∠EBC=∠ECB，
在△DAB和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠EBC}\\{AB=BC}\\{∠DBC=∠ECB}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△EBC，
∴DA=EB=DB=EC，
∵∠EBC=∠DAB，
∴EB∥DA，∵EB=DA，
∴四边形ADEB是平行四边形，同理四边形BCED是平行四边形，
∴DE=AB=BC，DE∥AC，
∴$\frac{PE}{PA}$=$\frac{DE}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

②如图2中，设 AE交BD于O，CD交BE于K，设AB=a，则BC=na，AC=（n+1）a，

∵EK∥AD，
∴$\frac{EK}{AD}$=$\frac{EP}{PA}$=$\frac{4}{15}$，设EK=4m，则AD=15m，
∵BK∥AD，
∴$\frac{BK}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴BK=$\frac{n}{n+1}$•15m，
∵由△EBC∽△DAB，
∴$\frac{EB}{DA}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{4m+\frac{n}{n+1}15m}{15m}$=$\frac{na}{a}$，
整理得15n²-4n-4=0，
解得n=$\frac{2}{3}$或-$\frac{2}{5}$（舍弃），
∴n=$\frac{2}{3}$．

（2）首先证明含有15°的直角三角形是三边比为1：（2+$\sqrt{3}$）：（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$），
如图4中，在Rt△ABC中，∠A=15°，∠C=90°，设BC=a，在AC边上取一点D，使得AD=BD，易知∠BDC=30°，AD=BD=2a．DC=$\sqrt{3}$a，
AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（2a+\sqrt{3}a）^{2}}$=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）a，
∴BC：AC：AB=1：（2+$\sqrt{3}$）：（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）．

如图3中，作CN⊥AP于N，EM⊥AC于M，AP交BD于O．设AB=m则BC=$\sqrt{3}$n，易知BM=CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，EM=$\frac{1}{2}$a．EB=EC=a，

∴AB=EB，
∵∠ADB=30°，DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA=∠DBE=75°，
∴BD⊥AE，OA=OE，
∴DA=DE=AB，
在Rt△AEM中，∵∠EAM=15°，EM=$\frac{1}{2}$a，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$a，
易知AN=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$a，OA=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$a，OD=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$a，ON=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$a，CN=EN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
设PN=x．
∵CN∥DO，
∴$\frac{CN}{DO}$=$\frac{PN}{OP}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}a}$=$\frac{x}{\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}a-x}$，
∴x=$\frac{6\sqrt{2}+\sqrt{6}}{22}$a
∴EP=EN-PN=$\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{6}}{22}$a，PA=AN-PN=$\frac{8\sqrt{2}+5\sqrt{6}}{11}$a，
∴$\frac{EP}{PA}$=$\frac{\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{6}}{22}a}{\frac{8\sqrt{2}+5\sqrt{6}}{11}a}$=$\frac{3\sqrt{3}-5}{2}$．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定和性质、15度角的直角三角形的三边关系、特殊角的三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，本题的突破点是证明15°角的直角三角形的三边关系，属于中考压轴题．