Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AD=3，DC=4，求AE．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质可以得到∠DAC=∠BCE，再根据已知就可以证明△BCE≌△CAD，然后根据其对应边相等就可以得到；
（2）首先根据勾股定理的AC的长，再根据（1）的结论就可以求出AE．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，
∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，
∴△BCE≌△CAD．
∴CD=BE．

（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC=

AD2+CD2

=5，
∵△BCE≌△CAD，
∴CE=AD=3．
∴AE=AC-CE=2．

点评：此题把全等三角形放在梯形中，利用梯形的性质证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质和勾股定理解题．