Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在直线y＝x上，过点P的直线交x轴正半轴于点A，交直线y＝3x于点B，点B在第一象限内．

(1)如图1，当∠OAB＝90°时，求的值；

(2)当点A的坐标为(6，0)，且BP＝2AP时，将过点A的抛物线y＝﹣x2+mx上下方平移，使它过点B，求平移的方向和距离．

Answer 1

【答案】(1)5；(2)抛物线向下平移了个单位长度．

【解析】

（1）设点A横坐标为a，由于∠OAB＝90°，即AB⊥x轴，所以P、B横坐标也是a，分别代入直线解析式求P、B纵坐标，相减即能得到用a表示的BP、AP的值．

（2）分别过点P、B作x轴垂线，垂足分别为D、C，根据平行线分线段定理可得．设直线AB解析式为y＝kx+b，把A坐标代入得y＝kx﹣6k．把直线AB解析式分别与直线OP、OB解析式联立方程组，求得点P、B的横坐标（用k表示）即点D、C横坐标，进而得到用k表示CD、DA的式子．根据CD＝2AD为等量关系列方程即求得k的值，即得到点B坐标．把点A代入原抛物线解析式求m，由于上下平移，故可在原抛物线解析式后+n以表示平移后的抛物线，把点B代入即求得n的值．n为负数时即表示向下平移．

(1)设点A坐标为(a，0)(a＞0)

∵∠OAB＝90°，点B在直线y＝3x上，点P在直线y＝x上

(2)如图，过点B作BC⊥x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D

∴BC∥PD

∵BP＝2AP

∴=2

∴CD＝2DA

设直线AB解析式为：y＝kx+b

∵A(6，0)

∴6k+b＝0，得b＝﹣6k

∴直线AB解析式为y＝kx﹣6k

当x＝kx﹣6k时，解得：x＝

∴xD＝xP＝

当3x＝kx﹣6k时，解得：x＝

解得：k＝﹣2

∴，即

∵抛物线y＝﹣x2+mx过点A

∴﹣36+6m＝0，解得：m＝6

设平移后过点B的抛物线解析式为y＝﹣x2+6x+n

∴

解得：n＝﹣

∴抛物线向下平移了个单位长度．