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等边三角形是大家熟悉的特殊三角形,除了以前我们所知道的它的一些性质外,它还有很多其它的性质,我们来研究下面的问题:

如图1,点P是等边△ABC的中心,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,易证:BE+CF+AD=EC+AF+BD
问题提出:如图2,若点P是等边△ABC内任意一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,上述结论还成立吗?
为了解决这个问题,现给予证明过程:
证明:连接PA、PB、PC,在Rt△PBE和Rt△PEC中,PB2=PE2+BE2,PC2=PE2+CE2,∴PB2-PC2=BE2-CE2
同理可证:PC2-PA2=CF2-AF2,PA2-PB2=AD2-BD2
将上述三式相加得:BE2-CE2+CF2-AF2+AD2-BD2=0,即:(BE+CE)(BE-CE)+(CF+AF)(CF-AF)+(AD+BD)(AD-BD)=0
∵△ABC是等边三角形,设边长为a.
∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a;
∴a(BE-CE)+a(CF-AF)+a(AD-BD)=0;
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0;
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD.
问题拓展:如图3,若点P是等边△ABC的边上任意一点,PD⊥AB于D,PF⊥AC于F,上述结论还成立吗?若成立,请直接写出结论,不用证明;若不成立,请说明理由.
问题解决:
如图4,若点P是等边△ABC外任意一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,上述结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
【答案】分析:问题拓展:连接PA,然后根据“问题提出”的证明思路证明即可;
问题解决:连接PA、PB、PC,然后根据“问题提出”的证明思路证明即可.
解答:解:问题拓展:BE+CF+AD=EC+AF+BD仍然成立.
理由如下:如图3,连接PA,在Rt△PAD和Rt△PBD中,PA2=AD2+PD2,PB2=BD2+PD2
∴PA2-PB2=AD2-BD2
同理可证:PC2-PA2=CF2-AF2
又∵PB2=BE2,PC2=CE2
∴PB2-PC2=BE2-CE2
将上述三式相加得:AD2-BD2+CF2-AF2+BE2-CE2=0,
即:(BE+CE)(BE-CE)+(CF+AF)(CF-AF)+(AD+BD)(AD-BD)=0,
∵△ABC是等边三角形,设边长为a,
∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a,
∴a(BE-CE)+a(CF-AF)+a(AD-BD)=0,
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0,
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD;

问题解决:如图4,连接PA、PB、PC,
在Rt△PBE和Rt△PEC中,PB2=PE2+BE2,PC2=PE2+CE2
∴PB2-PC2=BE2-CE2
同理可证:PC2-PA2=CF2-AF2,PA2-PB2=AD2-BD2
将上述三式相加得:BE2-CE2+CF2-AF2+AD2-BD2=0,
即:(BE+CE)(BE-CE)+(CF+AF)(CF-AF)+(AD+BD)(AD-BD)=0,
∵△ABC是等边三角形,设边长为a,
∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a,
∴a(BE-CE)+a(CF-AF)+a(AD-BD)=0,
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0,
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD.
点评:本题考查了等边三角形的性质,勾股定理的应用,读懂题目信息,理解证明思路与方法是解题的关键.
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科目:初中数学 来源: 题型:

(2010•市南区模拟)等边三角形是大家熟悉的特殊三角形,除了以前我们所知道的它的一些性质外,它还有很多其它的性质,我们来研究下面的问题:

如图1,点P是等边△ABC的中心,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,易证:BE+CF+AD=EC+AF+BD
问题提出:如图2,若点P是等边△ABC内任意一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,上述结论还成立吗?
为了解决这个问题,现给予证明过程:
证明:连接PA、PB、PC,在Rt△PBE和Rt△PEC中,PB2=PE2+BE2,PC2=PE2+CE2,∴PB2-PC2=BE2-CE2
同理可证:PC2-PA2=CF2-AF2,PA2-PB2=AD2-BD2
将上述三式相加得:BE2-CE2+CF2-AF2+AD2-BD2=0,即:(BE+CE)(BE-CE)+(CF+AF)(CF-AF)+(AD+BD)(AD-BD)=0
∵△ABC是等边三角形,设边长为a.
∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a;
∴a(BE-CE)+a(CF-AF)+a(AD-BD)=0;
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0;
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD.
问题拓展:如图3,若点P是等边△ABC的边上任意一点,PD⊥AB于D,PF⊥AC于F,上述结论还成立吗?若成立,请直接写出结论,不用证明;若不成立,请说明理由.
问题解决:
如图4,若点P是等边△ABC外任意一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,上述结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.

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如图1,点P是等边△ABC的中心,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,易证:BE+CF+AD=EC+AF+BD
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证明:连接PA、PB、PC,在Rt△PBE和Rt△PEC中,PB2=PE2+BE2,PC2=PE2+CE2,∴PB2-PC2=BE2-CE2
同理可证:PC2-PA2=CF2-AF2,PA2-PB2=AD2-BD2
将上述三式相加得:BE2-CE2+CF2-AF2+AD2-BD2=0,即:(BE+CE)(BE-CE)+(CF+AF)(CF-AF)+(AD+BD)(AD-BD)=0
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∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a;
∴a(BE-CE)+a(CF-AF)+a(AD-BD)=0;
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0;
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD.
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