Question

（2012•密云县一模）在∠A（0°＜∠A＜90°）的内部画线段，并使线段的两端点分别落在角的两边AB、AC上，如图所示，从点A₁开始，依次向右画线段，使线段与线段在两端点处互相垂直，A₁A₂为第1条线段．设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，则∠A=

22.5

°；若记线段A_2n-1A_2n的长度为a_n（n为正整数），如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，则此时a₂=

1+

2

，a_n=

（1+

2

）^n-1

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：由题意得到△A₁A₂A₃为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到∠A₂A₁A₃=45°，再由∠A₂A₁A₃为等腰△AA₂A₁的外角，利用外角性质即可求出∠A的度数；由△A₁A₂A₃为等腰直角三角形，A₁A₂=A₂A₃=1，利用勾股定理求出A₁A₃的长，由AA₁+A₁A₃求出AA₃的长，即为A₃A₄的长，可得出a₂的长；同理求出a₃的长，依此类推即可得出a_n的长．

解答：解：∵A₁A₂=A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴△A₁A₂A₃为等腰直角三角形，
∴∠A₂A₁A₃=45°，
又AA₁=A₁A₂，
∴∠A=∠AA₂A₁，
又∠A₂A₁A₃为△AA₂A₁的外角，
∴∠A=∠AA₂A₁=

1

2

∠A₂A₁A₃=22.5°；
∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，
∴A₁A₂=a₁=1；
在Rt△A₁A₂A₃中，根据勾股定理得：A₁A₃=

2

，
∴AA₃=A₃A₄=a₂=AA₁+A₁A₃=1+

2

；
同理AA₅=A₅A₆=a₃=AA₃+A₃A₅=1+

2

+

2

（1+

2

）=3+2

2

=（1+

2

）²；
以此类推，a_n=（1+

2

）^n-1．
故答案为：22.5°；1+

2

；（1+

2

）^n-1．

点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形的外角性质，属于规律型题，锻炼了学生归纳总结的能力，是中考中常考的题型．