Question

16．如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA=5，DB=4，DC=3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，下列结论：①点D与点D'的距离为5；②∠ADC=150°；③△ACD'可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；④点D到CD'的距离为3；⑤S_{四边形ABCD′}=6+$\frac{25\sqrt{3}}{2}$，其中正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 连结DD′，根据旋转的性质得AD=AD′，∠DAD′=60°，可判断△ADD′为等边三角形，则DD′=5，可对①进行判断；由△ABC为等边三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，则把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，于是可对③进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到△DD′C为直角三角形，则可对②④进行判断；由于S_{四边形ADCD′}=S_△ADD′+S_△D′DC，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．

解答 解：连结DD′，如图，
∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=60°，
∴△ADD′为等边三角形，
∴DD′=5，所以①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，
∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，所以③正确；
∴D′C=DB=4，
∵DC=3，
在△DD′C中，
∵3²+4²=5²，
∴DC²+D′C²=DD′²，
∴△DD′C为直角三角形，
∴∠DCD′=90°，
∵△ADD′为等边三角形，
∴∠ADD′=60°，
∴∠ADC≠150°，所以②错误；
∵∠DCD′=90°，
∴DC⊥CD′，
∴点D到CD′的距离为3，所以④正确；
∵S_△ADD′+S_△D′DC
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×5²+$\frac{1}{2}$×3×4
=6+$\frac{25\sqrt{3}}{4}$，所以⑤错误．
故选B．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．